Consideraciones sobre Elementos Shell
en FEMAP & NX NASTRAN

1. Introducción a los elementos 2-D en FEMAP & NX Nastran:
Los elementos superficie, también llamados elementos 2-D ó elementos área, se usan para mallar estructuras cuyo espesor sea pequeño en comparación con las otras dos dimensiones. Se pueden usar elementos Shell para modelizar placas, que son planas, o cáscaras, que pueden tener una única curvatura (por ejemplo, un cilindro) o doble curvatura (por ejemplo, una esfera). Los elementos Shell en NX Nastran tienen cinco grados de libertad por nodo (TX, TY, TZ, RX & RY), no existe rigidez asociada con el grado de libertad de rotación alredor del eje normal a la placa (RZ). Este grado de libertad debe restringirse para evitar singularidades de la matriz de rigidez (PARAM,AUTOSPC,YES).

En NX Nastran, se pueden usar los siguientes tipos de elementos superficie:

	Shear panel (CSHEAR).
	2D crack tip (CRAC2D).
	Conical shell (RINGAX).
	Shell (CQUA4, CTRIA3, CQUAD8, CTRIA6, CQUADR, CTRIAR).

Biblioteca de elementos 2-D en FEMAP & NX Nastran

En análisis lineal, los elementos placa de NX Nastran siguen la teoría clásica de placas finas:

	Una placa fina es aquella en la cual el espesor es mucho más pequeño que las otras dos dimensiones.
	El desplazamiento transversal de la superficie media de la placa es pequeño comparado con su espesor.
	La superficie media permanece neutra en flexión -- esto se aplica a las cargas laterales, no a las cargas en el plano.
	La normal a la superficie media permanece normal durante la flexión.

2. Elementos Plate/Shell en NX Nastran:
NX Nastran incluye dos topologías diferentes de elementos Shell isoparamétricos (triángulos y cuadriláteros) y dos sistemas diferentes de tensiones (membrana y flexión). En total hay seis formas diferentes de elementos Shell y placas planas:

Todos estos elementos difieren principalmente en su topología, en el nº de nodos, y en el nº de puntos internos de cálculo de tensiones. Se pueden utilizar para modelizar membranas, placas y elementos Shell finos y gruesos. Lo más importante es saber utilizar el elemento más adecuado en todo momento para maximizar la precisión del análisis.

Los elementos CQUAD8 y CTRIA6 son elementos de alto orden con nodos intermedios que aumentan la precisión del elemento pero complican el mallado. T

Por razones de precisión los elementos de cuatro lados (CQUAD4 y CQUAD8) son los preferidos frente a los elementos triangulares (CTRIA3 y CTRIA6), los cuales se usan principalmente para transiciones de mallado o para mallar partes de una estructura donde los elementos QUAD son impracticables.

q 2.1. El Formato PSHELL
La tarjeta PSHELL define las propiedades de membrana, flexión, cortadura y acoplamiento de los elementos Shell y placas planas de pequeño espesor. El formato de la tarjeta PSHELL es el siguiente:

Mediante la tarjeta PSHELL se define el nº de identificación del material para las propiedades de membrana, flexión, cortadura, acoplamiento flexión-membrana así como los parámetros de flexión y cortadura. Eligiendo los materiales y propiedades adecuadas, se puede obtener virtualmente cualquier configuración de elemento Shell.

Componentes de la tensión en elementos Shell finos

Hay dos formas de introducir el espesor de las placas. El método más simple y sencillo es introducir un espesor constante en el campo nº 4 de la tarjeta PSHELL. Si el elemento no tiene espesor uniforme, el espesor en cada uno de sus nodos se introduce en un línea a continuación de la tarjeta de conectividad del elemento CQUAD4/CTRIA3. Si se define el espesor tanto en la tarjeta PSHELL como en la tarjeta de conectividad del elemento, tiene prioridad la definición individual de espesor en nodos.

También se define en la tarjeta PSHELL las posiciones Z1 y Z2 para el cálculo de tensiones. Por defecto, Z1 y Z2 es igual a la mitad del espesor del elemento. Si se modeliza un elemento Composite se pueden introducir valores diferentes para identificar la distancia a la fibra más alejada para el cálculo de tensiones.

Definición de Z1 y Z2, distancia a la fibra más alejada del elemento Shell en FEMAP

El uso más común de la tarjeta PSHELL es para modelizar una placa fina isotrópica. El método preferido para definir una placa fina isotrópica es usar el mismo nº de identificación del material (MAT1 ID) para las propiedades de membrana (Mid1) y propiedades de flexión (Mid2) y dejar en blanco los otros campos. Para una placa gruesa, introducir un nº de identificación del material (MAT1 ID) para las propiedades de cortadura (Mid3). También se puede usar la entrada PSHELL para definir placas anisotrópicas.

Problema nº 1: Definir en FEMAP las propiedades de un elemento Shell que trabaje con cargas de membrana, flexión y cortadura. Mostrar el formato de la tarjeta PSHELL.

	Con "Model > Property > Elem/Property Type... > PLATE" definimos las propiedades de un elemento Shell regular trabajando con cargas de membrana, flexión y cortadura.
	En el campo "Title" escribimos un nombre de propiedad, por ejemplo "Shell e=5mm - CQUAD4" y en el campo "Material" pulsamos en el icono de creación de nuevo material y seleccionamos un material de la lista.
	En el campo "Thicknesses, Tavg or T1" metemos el espesor del elemento.
	Por defecto se activan los campos "Bending = 0..Plate Material" (o el nombre del material creado, es lo mismo) y "Transverse Shear = 0..Plate Material" que equivale a introducir un nº de identificación de material para las propiedades de flexión (Mid2) y un nº de identificación de material para las propiedades de cortadura (Mid3).

Definición de las Propiedades de un Elemento Shell regular en FEMAP

Con "Model > Analysis > Preview Input" visualizamos el fichero de entrada de NX NASTRAN generado por FEMAP. La tarjeta PSHELL contiene en la posición #5 el nº de identificación de material para las propiedades de flexión (Mid2) y

$ Femap with NX Nastran Property 1 : Shell e=5mm - CQUAD4
PSHELL         1       1      5.       1               1

NOTA:
Al considerar la flexibilidad de cortadura transversal significa que usando MID3 se añade un término en la formulación de la matriz de rigidez del elemento. Por tanto, una placa plana con una entrada MID3 tendrá mayor deformada (si el cortante transversal está presente) que un elemento sin entrada MID3. Para placas planas muy finas, este término de cortadura contribuye muy poco a la deformada. Pero en placas muy gruesas, la contribución del cortante a la deformada puede ser muy importante, tal como ocurre con vigas cortas y de altura elevada.

Problema nº 2: Definir en FEMAP las propiedades de un elemento Shell que trabaje sólo con cargas de membrana. Mostrar el formato de la tarjeta PSHELL.

	Con "Model > Property > Elem/Property Type... > MEMBRANE" definimos las propiedades de un elemento Shell que trabaje sólo con cargas de membrana.
	En el campo "Title" escribimos un nombre de propiedad, por ejemplo "Shell Membrana e=5mm - CQUAD4" y en el campo "Material" pulsamos en el icono de creación de nuevo material y seleccionamos un material de la lista.
	En el campo "Thicknesses, Tavg or T1" metemos el espesor del elemento.
	Por defecto se apagan todos los campos de "Additional Options".

Definición de las Propiedades de un Elemento Shell tipo Membrana en FEMAP

Con "Model > Analysis > Preview Input" visualizamos el fichero de entrada de NX NASTRAN generado por FEMAP. La tarjeta PSHELL contiene

$ Femap with NX Nastran Property 2 : Shell Membrana e= 5mm - CQUAD4
PSHELL         2       1      5.

Problema nº 3: Definir en FEMAP las propiedades de un elemento Shell que trabaje sólo resista momentos flectores. Mostrar el formato de la tarjeta PSHELL.

Con "Model > Property > Elem/Property Type... > BENDING-ONLY" definimos las propiedades de un elemento Shell que trabaje sólo a flexión pura.

	En el campo "Title" escribimos un nombre de propiedad, por ejemplo "Shell Bending-Only (CQUAD4)" y en el campo "Material" pulsamos en el icono de creación de nuevo material y seleccionamos un material de la lista.
	En el campo "Thicknesses, Tavg or T1" metemos el espesor del elemento.
	Por defecto se apagan todos los campos de "Additional Options".

Definición de las Propiedades de un Elemento Shell de Sólo-Flexión en FEMAP

Con "Model > Analysis > Preview Input" visualizamos el fichero de entrada de NX NASTRAN generado por FEMAP. La tarjeta PSHELL contiene en la posición #5 el nº de identificación de material para las propiedades de flexión (Mid2), únicamente. El formato generado por FEMAP es el siguiente:

$ Femap with NX Nastran Property 3 : Shell Bending-Only (CQUAD4)
PSHELL         3              5.       1

3. Los elementos CQUAD4 y CTRIA3 en NX Nastran:
La formulación de los elementos CQUAD4 y CTRIA3 se basa en la Teoría de elementos Shell de Mindlin-Reissner. Estos elementos carecen de rigidez para el grado de libertad de rotación alrededor del eje normal al elemento.

En consecuencia, si los nodos del modelo pertenecen únicamente a elementos CQUAD4, y todos los elementos están en el mismo plano, entonces los grados de libertad de rotación alededor de la normal a la superficie tienen rigidez nula, causando un error de "matriz de rigidez singular" durante la ejecución del análisis.

El problema se puede evitar de varias formas:

• Restringiendo manualmente el grado de libertad de rotación mediante SPC, o automáticamente con PARAM,AUTOSPC,YES.

• Aplicando una rigidez artificial usando PARAM K6ROT. Recuerda que la rigidez asignada al grado de libertad de rotación no es real. Por ejemplo, si quieres conectar un elemento CBAR a un elemento CQUAD4, no se puede utilizar la rigidez de K6ROT para transferir el momento flector del extremo del elemento CBAR al elemento Shell.

q 3.1. CQUAD4
El CQUAD4 es el elemento más utilizado en NX Nastran para mallar placas, shells, y membranas. El elemento CQUAD4 es una placa plana de 4-nodos. Soporta cargas en el plano, de flexión, y cargas cortantes transversales.

El elemento CQUAD4 se debe utilizar para mallar superficies en general bastante planas y cuando la geometría sea rectangular. En esta condiciones, los elementos rectangulares son más exactos que los elementos triangulares con el mismo tamaño de modelo. Si las superficies tienen excesiva curvatura o están muy deformadas se recomienda usar elementos triangulares.

En condiciones extremas, los elementos rectangulares darán resultados considerablemente menos exactos que los elementos triangulares para el mismo tamaño de malla. Los elementos cuadrilátero deben ser los más cercanos posibles a un cuadrado, ya que su precisión se deteriora según aumenta su relación de aspecto.

q 3.1.1 Sistema de Coordenadas del elemento CQUAD4
La siguiente figura muestra el sistema de coordenadas del elemento CQUAD4. La orientación viene determinada por el orden de conectividad de los nodos del elemento. El eje-Z, conocido como el eje normal positivo, se determina siguiendo la regla de la mano derecha. Por tanto, si se cambia el orden de los nodos, la dirección del eje normal positivo también se invierte.

Es importante recordar la regla cuando se aplican presiones o se visualizan esfuerzos y tensiones en el elemento. A menudo, los contornos de tensión en elementos parecen tener un aspecto extraño cuando se visualizan en el postprocesador debido a que las normales en los elementos adyacentes son inconsistentes. Hay que recordar que NX Nastran siempre calcula las componentes de fuerzas, momentos y tensiones elementales en el sistema de coordenadas del elemento.

Sistema de Coordenadas del Elemento CQUAD4

• El eje-X del elemento parte el ángulo 2α. La dirección positiva va del nodo G1 a G2.

• El eje-Y del elemento es perpendicular al eje-X y se apoya en el plano formado por los nodos G1, G2, G3 y G4. La dirección positiva va del nodo G1 a G4.

• El eje-Z del elemento es normal al plano X-Y del elemento. La dirección positiva se define aplicando la regla de la mano derecha a la secuencia de nodos de G1 a G4.

q 3.2. CTRIA3
El elemento CTRIA3 es un triángulo de tres nodos. El elemento CTRIA3 se utiliza fundamentalmente para transiciones de malla y para mallar contornos irregulares. El elemento CTRIA3 es excesivamente rígido, particularmente con cargas de membrana. Por tanto, como buena práctica de mallado, se debe evitar usar elementos CTRIA en áreas de eevado interés siempre que sea posible. Por lo demás el elemento CTRIA3 es análogo al elemento CQUAD4. Los elementos CTRIA3 se deben mantener lo más equiláteros posibles ya que su precisión se degrada rápidamente cuando el triángulo se vuelve obtuso o la relación entre el lado mayor y el menor aumenta.

q 3.2.1 Sistema de Coordenadas del elemento CTRIA3
Las fuerzas y tensiones en elementos CTRIA3 se calculan en el sistema de coordenadas del elemento, que se establece tal como sigue:

• El eje-X del elemento va del nodo G1 a G2.

• El eje-Y del elemento es perpendicular al eje-X y se apoya en el plano formado por los nodos G1, G2 y G3. La dirección positiva va en el sentido de la posición del nodo G3.

• El eje-Z del elemento es normal al plano X-Y del elemento. La dirección positiva se define aplicando la regla de la mano derecha a la secuencia de nodos de G1 a G3.

Sistema de Coordenadas del Elemento CTRIA3

NX Nastran calcula fuerzas y momentos en el centro del elemento. Calcula las tensiones a las distancias Z1 y Z2 a partir del plano de referencia del elemento.

4. Los elementos CQUADR y CTRIAR en NX Nastran:
Los elementos CQUADR y CTRIAR son una mejora de los elementos placa normales:

• CTRIAR es un elemento plano isoparamétrico de tres nodos.

• CQUADR es un elemento plano isoparamétrico de cuatro nodos.

Tienen la ventaja de incluir el grado de libertad de rotación normal al elemento (que carece de rigidez en los elementos placa normales) y mejorar así el comportamiento como membrana. NX Nastran incluye en la formulación de la matriz de rigidez del elemento la rigidez rotacional normal al elemento.

En comparación con los elementos CQUAD4 y CTRIA3, los elementos CQUADR y CTRIAR son menos sensibles a distorsiones elevadas de la malla o valores del Coef. de Poisson cercano a 0.5. Por ejemplo, el elemento CQUADR ofrece mayor precisión que el elemento CQUAD4 con estructuras planas con cargas en el plano (es decir, comportamiento como membrana), pero es menos sensible que el elemento CQUAD4 a la distorsión de la malla.

En general, se recomienda no mezclar en el mismo modelo elementos con diferentes formulaciones. Por ejemplo, no se debe mallar una parte de la estructura con elementos CQUAD4 y CTRIA3 y otra parte con elementos CQUADR y CTRIAR.

Método para definir en FEMAP los elementos Shell como CQUADR y CTRIAR

Los elementos CQUAD8 y CTRIA6 son similares a los elementos CQUAD4 y CTRIA3 excepto que tienen nodos intermedios lo que les hace adecuados para mallar superficies con curvatura:

• CQUAD8 es un elemento curvo isoparamétrico de ocho nodos. Es muy útil para mallar superficies con una única curvatura (cilindro). Pero en cambio el elemento CQUAD4 es mejor para mallar superficies con doble curvatura (esferas).

• CTRIA6 es un elemento curvo isoparamétrico de seis nodos. Es muy útil para crear mallas de transición en regiones con curvatura.

6. Salida de Resultados en Elementos Shell:
NX Nastran calcula siempre las fuerzas y momentos en el centro del elemento. Las tensiones se calculan a distancias Z1 y Z2 del plano de referencia del elemento. La siguiente imagen muestra la definición en FEMAP de las propiedades del elemento Shell. Si no se indica lo contrario, Z1 y Z2 se definen automáticamente en la superficie del elemento Shell, es decir, Z1, Z2 = ±espesor/2.

Por defecto, NX Nastran sólo calcula los resultados de fuerzas, tensiones y deformaciones unitarias en el centro de los elementos CQUAD4 y CTRIA3. Pero el usuario en FEMAP tiene la opción de obtener estos valores también en los nodos del elemento (además de en el centro del elemento) activando la opción "Element Corner Results" en el "Nastran Output Request", tal como muestra la imagen siguiente:

Petición de Salida de Resultados de NX Nastran en FEMAP

Si pre-visualizamos el fichero de entrada de NX NASTRAN veremos escrito en el CASE CONTROL SECTION las líneas de comandos que ordenan a NX NASTRAN el cálculo de esfuerzos y tensiones en los nodos del elemento Shell: 

OUTPUT
DISPLACEMENT(PLOT,REAL) = ALL
FORCE(PLOT,REAL,CORNER) = ALL
GPFORCE(PLOT,REAL) = ALL
OLOAD(PLOT,REAL) = ALL
SPCFORCES(PLOT,REAL) = ALL
STRESS(PLOT,REAL,VONMISES,CORNER) = ALL

Pre-visualización del fichero de NX NASTRAN en FEMAP

Si se solicita el cálculo de esfuerzos, tensiones y deformaciones en el CASE CONTROL SECTION anterior, NX Nastran siempre calcula resultados tanto en el centro como en los vértices del elemento. La opción "Element Corner Results" no es aplicable a los elementos CQUAD8, CTRIA3 y CTRIA6.

q 6.1. Jerarquía de Resultados
NX Nastran sólo soporta escribir un único tipo de salida por cálculo, es decir, no se puede mezclar pedir que calcule CENTER y CORNER a la vez. Para determinar el tipo de salida, se debe tener en cuenta la siguiente jerarquía:

1. NX Nastran sólo considera el tipo de salida de resultados realizado en el primer caso de carga ("first subcase") o nivel superior. Las peticiones de tipos de salida realizadas por debajo del primer caso de carga simplemente se ignoran (y por defecto es CENTER).

2. El tipo de salida para el cálculo de tensiones (STRESS) establecido en el primer caso de carga determina el tipo de salida para tensiones, deformaciones y esfuerzos (STRESS, STRAIN y FORCE) del cálculo completo.

q 6.2. Fuerzas y Momentos
La siguiente figura muestra la dirección positiva de las fuerzas y momentos en elementos Shell. El diagrama es muy útil para entender la salida de resultados cuando se usa la tarjeta FORCE (o ELFORCE) en el CASE CONTROL SECTION de NX Nastran:

Fuerzas y Momentos en elementos Shell

Las fuerzas son las siguientes:

q 6.3. Tensiones
La siguiente figura muestra las tensiones generadas en el elemento Shell:

Tensiones en elementos Shell 

Las tensiones son las siguientes:

• σ_x , σ_y = Tensión normal en las direcciones X e Y.

• τ_xy , σ_y = Tensión cortante en la cara X en la dirección Y.

• Tensión principal máxima y mínima.

• Angulo entre el eje-X y la dirección de la tensión principal máxima. Este ángulo se deriva de σ_x , σ_y , y τ_xy .

• Tensión equivalente de von Mises si se pide STRESS(VONM) o tensión cortante máxima si se pide STRESS(MAXS). Estas tensiones se derivan de σ_x , σ_y , y τ_xy .

NX Nastran calcula las tensiones en el sistema de coordenadas del elemento.

Nota:

• Con elementos CQUAD4 y CTRIA3, NX Nastran evalúa las tensiones en el centro del elemento.

• Con elementos CQUAD4 se puede solicitar el cálculo de tensiones en los vértices del elemento usando STRESS(CORNER).

• Con elementos CQUAD8, CTRIA6, CQUADR, y CTRIAR las tensiones se evalúan en el centro y en los vértices del elemento.

7. EJEMPLO CQUAD4
La siguiente figura muestra una placa en voladizo de 30 x 20 pulgadas y 0.1 pulgadas de espesor sujeta a una carga lateral FZ = -20 Lb en su extremo libre. Se pide calcular los desplazamientos, esfuerzos y tensiones en la placa.

Placa en voladizo mallada con elementos Shell CQUAD4

q 7.1. Defición del Modelo de Elementos Finitos
En FEMAP realizamos lo siguente: 

	Con "Geometry > Surface > Corners..." definimos una superficie introduciendo las coordenadas de los cuatro vértices.
	Con "Model > Property > Elem/Property Type... > PLATE" definimos las propiedades de un elemento Shell regular trabajando con cargas de membrana, flexión y cortadura.
	En el campo "Title" escribimos un nombre de propiedad, por ejemplo "Shell e=0.1 pulgadas" y en el campo "Material" pulsamos en el icono de creación de nuevo material e introducimos las propiedades del material dadas.
	En el campo "Thicknesses, Tavg or T1" metemos el espesor del elemento = 0.1 pulgadas.
	Por defecto se activan los campos "Bending = 0..Plate Material" y "Transverse Shear = 0..Plate Material" que equivale a introducir un nº de identificación de material para las propiedades de flexión (Mid2) y un nº de identificación de material para las propiedades de cortadura (Mid3)
	Con "Mesh > Mesh Control > Attributes on Surface..." le asignamos la propiedad anteriormente definida a la superficie.
	Con "Mesh > Mesh Control > Size on Surface..." le asignamoos un tamaño de elemento a la superficie = 10, es decir, una malla de 3x2.
	Con "Mesh > Geometry > Surface..." mallamos la superficie con Elementos Shell CQUAD4.
	Con
	Con "Model > Load > On Curve..." aplicamos la carga FZ=-20 Lb en el extremo libre.
	Con "Model > Analysis > New..." definimos el análisis estático lineal con NX NASTRAN (SESTATIC SOL101), activando la opción "Element Corner Results" en el "Nastran Output Request".
	Con "Model > Analysis > Analyze..." ejecutamos el análisis estático lineal.

Propiedad del elemento Shell CQUAD4

q 7.2. Resultados de Desplazamientos y Reacciones
Lo primero es comprobar en el fichero de resultados de NX NASTRAN (*.f06) que las reacciones (SPCFORCE RESULTANT) están en equilibrio con las cargas (OLOAD RESULTANT). En efecto, el sistema está en equilibrio, RFZ=+20 Lb.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * N X N a s t r a n * * * * * * * * VERSION - 7.0 * * * * * * * * SEP 17, 2009 * * * * * * * * * * * *Intel64 Family 6 Model 23 Steppi * * * * * * * *Intel(R) Core(TM)2 Quad CPU Q955 * * * * * * * * Windows Vista Service Pack 2 * * * * * * * * Compiled for X86-64 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 SPCFORCE RESULTANT SUBCASE/ LOAD DAREA ID TYPE T1 T2 T3 R1 R2 R3 0 1 FX 0.000000E+00 ---- ---- ---- 0.000000E+00 0.000000E+00 FY ---- 0.000000E+00 ---- 0.000000E+00 ---- 0.000000E+00 FZ ---- ---- 2.000001E+01 -9.841139E-05 0.000000E+00 ---- MX ---- ---- ---- 9.841241E-05 ---- ---- MY ---- ---- ---- ---- -6.000003E+02 ---- MZ ---- ---- ---- ---- ---- 0.000000E+00 TOTALS 0.000000E+00 0.000000E+00 2.000001E+01 1.025910E-09 -6.000003E+02 0.000000E+00 0 MAXIMUM DISPLACEMENTS SUBCASE/ DAREA ID T1 T2 T3 R1 R2 R3 0 1 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.0252536E+01 4.2909984E-02 5.2161098E-01 0.0000000E+00 D I S P L A C E M E N T V E C T O R POINT ID. TYPE T1 T2 T3 R1 R2 R3 1 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2 G 0.0 0.0 -1.394402E+00 -3.764148E-02 2.618265E-01 0.0 3 G 0.0 0.0 -5.135265E+00 -4.290998E-02 4.677192E-01 0.0 4 G 0.0 0.0 -1.014546E+01 -2.176831E-02 5.160503E-01 0.0 5 G 0.0 0.0 -1.025254E+01 -5.748273E-10 5.216110E-01 0.0 6 G 0.0 0.0 -1.014546E+01 2.176831E-02 5.160503E-01 0.0 7 G 0.0 0.0 -5.135265E+00 4.290998E-02 4.677192E-01 0.0 8 G 0.0 0.0 -1.394402E+00 3.764147E-02 2.618265E-01 0.0 9 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 10 G 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 11 G 0.0 0.0 -1.574123E+00 -8.845910E-10 2.954659E-01 0.0 12 G 0.0 0.0 -5.347073E+00 -6.409625E-10 4.413387E-01 0.0

 

Los resultados de desplazamientos tienen un valor de 10.25 pulgadas, muy superior al espesor de la placa de 0.1 pulgadas, por tanto los resultados obtenidos mediante un análisis estático lineal no son correctos ya que la primera norma de validación de los resultados es la siguiente: "si el desplazamiento obtenido mediante un análisis lineal es del orden del espesor del elemento entonces se requiere realizar un análisis no lineal para validar la solución lineal", ya que el supuesto de existencia de pequeños desplazamientos no se estará cumpliendo. Por tanto, se hace necesario ejecutar un análisis no lineal.

Desplazamientos resultantes (pulgadas) del análisis estático lineal

 

q 7.3. Resultados de Fuerzas y Momentos
Con "List > Output > Standard > Nastran QUAD4 Forces" obtenemos el siguiente listado de fuerzas y momentos en elementos CQUAD4: 

	MEMBRANE FORCES: Fuerzas de membrana en el sistema de coordenadas del elemento (fuerza/unidad de logitud).
	BENDING MOMENTS: Momentos internos en el sistema de coordenadas del elemento (momento/unidad de longitud)
	TRANSVERSE SHEAR FORCES: Fuerzas de cortadura (fuerza/unidad de longitud)

 

F O R C E S I N Q U A D R I L A T E R A L E L E M E N T S ( Q U A D 4 ) - MEMBRANE FORCES & BENDING MOMENTS - - TRANSVERSE SHEAR - ID FX FY FXY MX MY MXY QX QY 1 0. 0. 0. -2.500000E+1 -5.931606E+0 -1.142322E+0 -1.000000E+0 4.661459E-2 2 0. 0. 0. -1.500000E+1 -1.143689E+0 -2.007601E-1 -1.000000E+0 6.167256E-2 3 0. 0. 0. -5.000000E+0 1.194929E+0 6.724604E-1 -1.000000E+0 2.475603E-2 4 0. 0. 0. -2.500000E+1 -5.931606E+0 1.142322E+0 -1.000000E+0 -4.661457E-2 5 0. 0. 0. -1.500000E+1 -1.143690E+0 2.007605E-1 -1.000000E+0 -6.167254E-2 6 0. 0. 0. -5.000000E+0 1.194929E+0 -6.724604E-1 -1.000000E+0 -2.475603E-2

 

Distribución del Momento Flector en el eje-X

 

q 7.4. Resultados de Tensiones
Con "List > Output > Standard > Nastran CQUAD4 Stresses" obtenemos el listado completo de tensiones en los elementos Shell CQUAD4: 

S T R E S S E S I N Q U A D R I L A T E R A L E L E M E N T S (Q U A D 4) ELEMENT STRESSES PRINCIPAL STRESSES (ZERO SHEAR) ID. FIBRE DIST NORMAL-X NORMAL-Y SHEAR-XY ANGLE MAJOR MINOR VON MISES 1 BOT -5.000000E-2 -1.500000E+4 -3.558963E+3 -6.853930E+2 -86.58 -3.518050E+3 -1.504091E+4 1.362685E+4 TOP 5.000000E-2 1.500000E+4 3.558963E+3 6.853930E+2 3.416 1.504091E+4 3.518050E+3 1.362685E+4 2 BOT -5.000000E-2 -9.000000E+3 -6.862136E+2 -1.204560E+2 -89.17 -6.844688E+2 -9.001744E+3 8.679774E+3 TOP 5.000000E-2 9.000000E+3 6.862136E+2 1.204560E+2 0.83 9.001744E+3 6.844688E+2 8.679774E+3 3 BOT -5.000000E-2 -3.000000E+3 7.169572E+2 4.034762E+2 83.88 7.602504E+2 -3.043293E+3 3.486155E+3 TOP 5.000000E-2 3.000000E+3 -7.169572E+2 -4.034762E+2 -6.124 3.043293E+3 -7.602504E+2 3.486155E+3 4 BOT -5.000000E-2 -1.500000E+4 -3.558963E+3 6.853932E+2 86.58 -3.518050E+3 -1.504091E+4 1.362685E+4 TOP 5.000000E-2 1.500000E+4 3.558963E+3 -6.853932E+2 -3.416 1.504091E+4 3.518050E+3 1.362685E+4 5 BOT -5.000000E-2 -9.000000E+3 -6.862137E+2 1.204563E+2 89.17 -6.844688E+2 -9.001745E+3 8.679775E+3 TOP 5.000000E-2 9.000000E+3 6.862137E+2 -1.204563E+2 -0.83 9.001745E+3 6.844688E+2 8.679775E+3 6 BOT -5.000000E-2 -3.000000E+3 7.169573E+2 -4.034763E+2 -83.88 7.602504E+2 -3.043293E+3 3.486155E+3 TOP 5.000000E-2 3.000000E+3 -7.169573E+2 4.034763E+2 6.124 3.043293E+3 -7.602504E+2 3.486155E+3

 

Tensiones vonMises en nodos resultantes del análisis estático lineal

 

q 7.5. Análisis No Lineal vs. Lineal
A los nuevos usuarios de NX Nastran en general les llama la atención que en este problema los desplazamientos en cada nodo sean exclusivamente en la dirección del eje-Z. Físicamente sabemos que existirá un desplazamiento en la dirección del eje-X cuando el desplazamiento en el eje-Z tenga un valor importante, como sucede en este problema. Sin embargo, el análisis estático lineal sigue la teoría de los pequeños desplazamientos, y por tanto, ya que en la dirección del eje-X no hay carga, entonces tampoco hay deformada.

Si la deformada de la placa es lo bastante significativa como para que no se puedan ignorar las fuerzas en el plano (o fuerzas de membrana) entonces se deberá realizar un análisis no lineal. Este es el caso de la placa en voladizo donde el desplazamiento transversal es varias veces el espesor de la pieza (10.25/0.1 = 102.5 veces!!). Para ver la diferencia, el mismo problema se ha resuelto mediante un análisis estático no lineal (NLSTATIC SOL106) usando 25 pasos de análisis. El siguiente listado muestra los desplazamientos y esfuerzos en elementos para el último paso de tiempo. Y la siguiente imagen compara los resultados de desplazamientos máximos entre el análisis estático lineal y el no lineal.

Resultados Máximos de Desplazamientos, Fuerzas y Momentos del Análisis Estático No lineal (NLSTATIC SOL106) 

Output Set 26 - Case 25 Time 1. D I S P L A C E M E N T V E C T O R POINT ID. T1 T2 T3 R1 R2 R3 1 G 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2 G -9.370223E-2 2.738219E-5 -1.366820E+0 -5.373635E-3 2.562297E-1 3.482318E-4 3 G -6.682794E-1 4.992367E-5 -4.708594E+0 -6.521060E-3 4.079945E-1 -1.721174E-4 4 G -1.624056E+0 -4.448723E-5 -8.975330E+0 -1.198963E-2 4.572819E-1 -1.257433E-4 5 G -1.639557E+0 3.970585E-9 -9.008126E+0 4.886386E-10 4.629019E-1 2.575570E-10 6 G -1.624056E+0 4.449517E-5 -8.975330E+0 1.198963E-2 4.572819E-1 1.257438E-4 7 G -6.682794E-1 -4.992022E-5 -4.708594E+0 6.521062E-3 4.079945E-1 1.721178E-4 8 G -9.370221E-2 -2.738218E-5 -1.366820E+0 5.373633E-3 2.562297E-1 -3.482316E-4 9 G 0. 0. 0. 0. 0. 0. 10 G 0. 0. 0. 0. 0. 0. 11 G -9.435919E-2 1.374791E-12 -1.369512E+0 -2.526976E-10 2.566410E-1 1.500063E-10 12 G -6.705547E-1 1.725295E-9 -4.714126E+0 -2.378744E-10 4.082939E-1 1.764211E-10 0 MAXIMUM DISPLACEMENTS SUBCASE/ DAREA ID T1 T2 T3 R1 R2 R3 0 25 1.6395570E+00 4.9923674E-05 9.0081263E+00 1.1989629E-02 4.6290189E-01 3.4823184E-04 F O R C E S I N Q U A D R I L A T E R A L E L E M E N T S ( Q U A D 4 ) - MEMBRANE FORCES & BENDING MOMENTS - - TRANSVERSE SHEAR - ID FX FY FXY MX MY MXY QX QY 1 1.367788E-1 -1.318497E+0 -4.905318E+0 -2.340852E+1 -6.796616E+0 -9.348273E-2 -9.919468E-1 1.338462E-1 2 3.343202E-1 -3.669620E+0 1.619472E-1 -1.372906E+1 -3.622171E+0 -2.716005E-2 -9.439403E-1 2.793957E-1 3 4.279879E-1 2.088077E+0 4.719388E+0 -4.504571E+0 -5.854416E-1 -1.827541E-1 -9.009189E-1 2.728267E-1 4 1.367782E-1 -1.318497E+0 4.905318E+0 -2.340852E+1 -6.796616E+0 9.348308E-2 -9.919469E-1 -1.338462E-1 5 3.343206E-1 -3.669621E+0 -1.619472E-1 -1.372906E+1 -3.622171E+0 2.716044E-2 -9.439403E-1 -2.793957E-1 6 4.279883E-1 2.088077E+0 -4.719388E+0 -4.504571E+0 -5.854415E-1 1.827540E-1 -9.009189E-1 -2.728267E-1

 

Comparación de resultados de desplazamientos máximos entre un análisis estático lineal (SESTATIC SOL101) y no lineal (NLSTATIC SOL106)

 

Con este ejemplo no intento enseñar cómo realizar un análisis estático no lineal, sólo sirve para recordar que un análisis estático lineal asume pequeños desplazamientos y que se cumpla siempre el principio de superposición de cargas. Si no se utiliza la opción de "Element Corner Results" las tensiones se calculan en el sistema de coordenadas del elemento y en el centro del elemento. En este ejemplo, la máxima tensión normal en el eje-X es de 7500 psi.

Resultados de Tensiones vonMises del análisis estático no lineal (NLSTATIC SOL106)

 

Sin embargo, si calculamos la tensión en el empotramiento usando la teoría de vigas, la tensión es de 9000 psi. Esta discrepancia ocurre porque la tensión de 7500 psi se calcula en el centro del elemento a una distancia de 5 pulgadas del extremo empotrado. Para ayudar a interpretar mejor los resultados se recomienda usar la opción de "Element Corner Results".

 

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